纖維增強復合材料由高強度、低密度的纖維材料與基體組成，具有比傳統材料更高的比強度和比模量，在航空航天、汽車等工業領域已得到廣泛應用。但是由于復合材料具有各向異性，其性能與鋪層角度等有著密切關系,在復雜結構承受復雜載荷時,相對于普通金屬材料,相應的結構設計也變得相當復雜纖維復合材料^[1,2]。因此，研究者都試圖尋找一種適合于復合材料的設計方法來解決該類問題。由于復合材料優化設計的重要性，復合材料層合結構優化已成為近年來的研究熱點之一^[3,4]。Powell法^[5]、變尺度法、解析法以及遺傳算法^[6~9]是復合材料層合板優化設計的常用方法。但是上述的研究均是針對確定性的參數進行研究，而在實際鋪層設計過程中，其彈性常數是在一定范圍內浮動的。因此，本文將對彈性常數等參數建立隨機概率密度函數，在此基礎上建立隨機機會約束規劃模型，并利用隨機模擬的遺傳算法進行求解。
1 復合材料層合板的剛度矩陣
1.1 單層板的剛度矩陣^[10]            
    復合材料單層板屬于正交各項異性材料，其厚度和其它平面內方向（1、2方向）尺寸相比，一般是很小的,近似認為其受力狀態為平面應力狀態，其應力應變關系為：

        
    一般將單層板的纖維鋪設方向定義為1方向，與其垂直的面內方向定義為2方向。工程中給出各種彈性常數來表征材料特性，剛度系數與彈性常數的關系為：

               
    其中，E₁、E₂、G₁₂、v₁₂和v₂₁為彈性常數，且有：

               
    以上討論的是單層板在其主方向上的應力應變關系，但實際上使用單層板組成層合板的過程中，單層板的主方向1,2方向與層合板的坐標x，Y方向往往不一致。兩個坐標系的轉角θ定義為從x軸轉向1軸的角度，以逆時針轉動為正，則兩種坐標系下的應力轉換方程為：

            
    通過推導,可得:

           
    定義偏軸剛度矩陣為：

          
    可得偏軸剛度系數分別為：

         
1.2 層合板的剛度特性 [-page-] 
    層合板由多個單層板按不同角度鋪設而成，顯然，其力學性能不僅與各單層板的材料性能有關，還與各單層板的鋪設方式有關。如將各單層板的主方向按不同角度和不同順序鋪設，可得到各種不同性能的層合板，這樣就可以在不改變單層板的情況下，設計出各種力學性能的層合板以滿足工程中的不同要求。
    設N_x，N_y，N_xy為層合板橫截面上單位寬度上的內力，M_x，M_y，M_xy為層合板橫截面上單位寬度的內力矩。則有^[7]：

        
    其中，K_x和k_y為曲率；K_xy為扭曲率；A_ij、B_ij、D_ij由下式定義：

           
    其中，A_ij為與面內內力和中面應變有關的剛度系數，統稱為拉伸剛度；D_ij為與內力矩、曲率及扭曲率有關的剛度系數，統稱為彎曲剛度；而B_ij為彎曲、拉伸之間的耦合關系，統稱為耦合剛度。
2 復合材料層合板固有頻率的隨機機會約束規劃模型
2.1 一階固有頻率大優化模型
    在此討論特殊情況下的一階固有頻率大化問題，對于一般情況，其求解過程類似，不同之處在于特殊情況的目標函數有確切的表達式。對于沒有確切表達式的情況，可采用以下兩種方法來完成目標函數的計算：①目標函數直接利用有限元方法進行計算；②先利用有限元計算不同輸入參數情況下的一階固有頻率，再利用神經網絡擬合一階固有頻率與輸入參數的關系，目標函數的計算即可采用擬合后的神經網絡來進行計算。
    為方便討論基于隨機機會約束規劃優化固有頻率的求解過程，以矩形層合板為例，僅考慮垂直于板中面的橫向振動，層合板的橫向振動僅與其彎曲剛度有關。對于四邊簡支邊界條件，固有頻率ω_mn為^[11]：

        
  其中，a和b分別為層合板的長和寬;P為層合板密度;h為層合板高。當m＝1、n＝1時可得到一階固有頻率，基頻f₁＝ω₁₁/2π。當然也可求解兩對邊簡支其它對邊為任意支撐等其它邊界條件下的固有頻率。
    以一階固有頻率大為目標函數，以鋪層角為設計變量，則優化的數學模型為：

      
2 隨機相關機會規劃模型
    由式(2)、(4)、(6)、(8)、(9)可知，一階固有頻率f₁與E₁.E₂.G₁₂ μ₁₂和μ₂₁相關，在實際應用的工程材料中，工程彈性常數往往是不確定的。通過大量的試驗可以發現，工程彈性常數往往符合一定的規律分布。因此，以確定性的常數來優化一階固有頻率并不符合工程實際，建立隨機機會約束的模型是一有效的方法。
    設E₁、E₂、G₁₂、v₁₂和v₂₁是分別服從某種概率分布的彈性常數，由于復合材料層合板的工程設計中，由于工藝條件限制，鋪層角不能隨意取值，一般只能取一些常用的角度，如0°、30°、45°、60°、90°等。根據Liu^[12]給出的形式，若希望極大化目標函數的樂觀值，則可建立Maximax的機會約束模型如下：

      
    其中，ξ為隨機彈性常數；α為預先給定的置信水平。
    若在隨機環境下，為了極大化目標函數的悲觀值，則可建立Minimax機會約束規劃模型如下：

     
3 隨機相關機會規劃模型求解
3.1 彈性常數概率分布函數及隨機模擬
    彈性常數可通過試驗及隨機理論來確定。設a₁，a₂，…，a_n是彈性常數E₁的n個觀測樣本，且a₁≤,a₂≤…≤a_n，則E₁的經驗分布函數為：

        
    則經驗分布F(E₁)的隨機數可由以下過程產生：
    算法1(經驗分布)
    步驟1:產生服從均勻分布U(0,1)的隨機數μ；
    步驟2:取m為(n-1)μ＋1的整數部分；
    步驟3:返回a_m＋[(n-1μ-m＋1](a _m＋1-a_m)。
    其它彈性常數同理可得。由于假設彈性常數服從經驗分布，則可以不用考慮給定的置信水平。若假設彈性常數服從高斯、指數等分布，則應給定置信水平。
    無置信水平的Maximax模型及Minimax模型的機會約束模擬步驟如下：
    算法2(Maximax隨機模擬)
    步驟1：置f₁＝0；
    步驟2;調用算法(1)產生各彈性常數的隨機數；
    步驟3：若f₁(θ_i,ξ)≥f₁成立，則置f₁＝f₁(θ_i,ξ)；
    步驟4：重復步驟2和3共N次；
    步驟5：返回f₁。
    算法3（Minimax隨機模擬）
    步驟1：置f₁＝∞；
    步驟2:調用算法(1)產生各彈性常數的隨機數；
    步驟3：若f₁(θ_i,ξ)≥f₁成立，則置f₁＝f₁(θ_i,ξ)；
    步驟4：重復步驟2和3共N次；
    步驟5：返回f₁。
3.2 基于隨機模擬的遺傳算法求解
    遺傳算法（Genetic algorithm，GA）將生物進化過程中適者生存規則與群體內部染色體的隨機信息交換機制相結合。通過優勝劣汰、適者生存的進化準則在復雜的空間內進行有效的搜索，并具有很強的魯棒性?；陔S機模擬的遺傳算法，主要是把隨機模擬的機會約束檢驗和隨機目標函數的處理嵌入到遺傳算法中，來解決隨機機會約束規劃中機會約束和隨機目標不能轉換為確定等價形式的情況^[13~15]。
    (1)染色體的編碼
    由于設計變量，即鋪層角的可以選取的值的個數為8，故可采用二進制編碼方式。設共有N層鋪層，則染色體的位串可分為N段，每段的長度為3，每段表示的設計變量與位段譯碼關系見表1。

    
    (2)選擇
    選擇算子決定了算法進化速度的快慢。它具體表現指標是選擇壓力和死亡時間，也就是父代個體存在的代數。一般來說，遺傳算法選擇有隨機選擇、確定選擇和混合選擇這三種。本文選用輪盤賭選擇方式，并采用優個體保留策略。
    (3)交叉和變異
    隨機選擇兩個染色體，再隨機選擇一個交叉位置，將這兩個染色體位于交叉位置后的符號串互換，形成兩個性的染色體。以較小的概率P_m。(稱為變異率)，隨機改變染色體位串上的每一位，即相應位上的0變為1，或是1變為0，形成新的染色體。
4 設計實例
    設設計的復合材料層合板是四邊固支的20層復合材料矩形板，其彈性常數經過6次試驗后的值由小到大排列如表2所示，其中密度取確定值P＝1600kg/m³。

          
    層合板的幾何尺寸為0.4×0.2m，各層厚度均為0.0015m，
    選擇遺傳算法的代數為80，交叉概率為0.7，變異概率為0.01。利用Matlab 7編程計算的Maximax及Minimax的機會約束模型的優值分別為429.847和331.417，每代優值如圖1所示，優個體見表3所示。

5 結論
    本文通過引入隨機機會約束對復合材料層合板固有頻率的鋪層角進行優化設計，提出了一種基于隨機彈性常數的結構優化設計方法。給出基于隨機模擬的遺傳算法求解步驟，并通過具體實例驗證了算法的可行性。在基于隨機模擬的遺傳算法中，花費較大的是隨機模擬求解目標函數的計算過程，減少計算量的主要方法是尋找適當的遺傳算法參數，減少計算的代數。另外，本文對復合材料層合板的優化設計僅僅是對一特定的實例進行求解，對于更一般的情況，其目標函數的值可利用有限元軟件來計算。在具體的求解過程中，可利用多學科綜合優化設計軟件，如用Isight調用有限元計算目標函數和相應的遺傳算法程序完成求解過程。
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