1 前言
    2.5D機織物是近年來發展起來的一種新型三維織物，與傳統的三維織物相比，在不損傷力學性能的同時，更能實現產業化，更好地滿足航天、航空、軍事及民用領域的廣泛使用。所以，進一步研究2.5D機織物的結構形態及幾何模型具有十分重要的現實意義。
    在以往的三維機織物結構模型中(如Byun^[1]，Lee^[2]，丁辛^[3、4]，黃故^[5]等)，都是通過先推導出織物結構參數與纖維體積含量之間的關系，再由纖維體積含量與力學性能之間的規律，間接推測織物結構的力學性能，所得的結果只能定性而不能定量地表達結構參數與力學性能之間關系。本文研究了2.5D機織物結構在承受附加張力情況下的力學性能與結構參數的關系。以織物中經紗為對象，建立勢能與附加張力、紗線結構參數的關系,再由小勢能原理，通過泛函數求極值的方法，得到2.5D機織物中紗線的附加張力與結構參數的關系，更為真實地反映了2.5D機織物結構在受到附加張力情況下的結構模型，為描述真實2.5D機織物結構模型和物理力學模型提供了一個科學途徑，也為計算機動態模擬織物的各項力學性能指標提供了一個更為可靠的依據。
2 小勢能原理
    小勢能原理是指在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中，實際存在的一組位移應使總勢能成為極值^[6~8]。
    設主動力有勢，勢能函數為：

 
    由虛位移原理得，具有理想約束質系平衡之充要條件為：

              
    即勢能之一階變分為零，或勢能具有駐值。
    研究表明，當勢能具有孤立極小值時，平衡才是穩定的，否則系統的平衡位形不穩定，即在微小干擾下，系統的平衡破壞，且遠離平衡位形。這一結論常稱為小勢能原理。
    眾所周知，在一定的拉伸力作用下，織物會發生伸長，織物中的紗線會發生伸長、彎曲等變形，但是當織物伸長到一定的程度，尺寸就會穩定下來，達到系統平衡，顯然符合小勢能原理的條件，因此使用小勢能原理來描述織物中紗線的路徑是合理的。
3  2.5D機織物的結構模型
    當織物承受外部載荷時,織物的總勢能П將涉及外部載荷所做的功、紗線因載荷所形成的伸長、彎曲勢能，紗線間因摩擦所產生的熱能，紗線因扭曲而產生的能量，紗線間相互擠壓產生的能量。本文只考慮附加張力所做的功、紗線因附加張力產生的伸長、彎曲勢能，并假設紗線在織物中的路徑曲線是平面曲線，紗線的橫截面保持圓形，紗線間無摩擦、擠壓^[9]。
    根據J. W. S. Hearle原理，紗線具有線彈性，紗線在載荷下的總勢能為^[10]：

  
    其中,W₁為外部載荷所作的功；W₂為紗線因載荷所形成的伸長勢能；W₃為紗線的彎曲勢能。
    假設紗線在織物中的路徑曲線是平面曲線，每根經紗受大小相等、方向相反的拉力F_x，每根緯紗受大小相等、方向相反的拉力F_y,緯紗間的間距為a，經紗間的間距為b，都與F_x、F_y有關。由于本文只考慮單根經紗的受力彎曲，又因為2.5D機織物中經紗的運動規律基本相同，故可取經紗路徑循環中的一個小循環單元，在經紗直徑的中平面上建立坐標系，并取此平面的y值為0，因此經紗的曲線方程可設為Z=Z_P(x,0)，(O≤x≤2a)。由于2.5D機織物結構中，緯紗的彎曲較小，本文將緯紗近似視為直線段，因此與經紗Z＝Zp(x,0),(O≤x≤2a)相交織的三根緯紗分別表示為Z_el(0,0)、Z_e2(a,0)、Z_e3(2a,0)。 [-page-]
    經紗Z＝Z_p(x,0)在XOZ平面中受力如圖1所示。

 
    其中，k為紗線的彈性系數；L_p為經紗的長度；EI為紗線的彎曲剛度；K_p為經紗路徑曲線的曲率。
    總勢能П是一個有關Z=Z_p(x,0)的泛函數，當系統穩定時，總勢能П達到小值，為了獲得紗線路徑曲線的表達式，下面就是要求出這個泛函數的極值。先將利用紗線結構的幾何和力學特點，把泛函數的極值問題轉化為函數極值來處理，然后利用拉格朗日乘數法求解。
    由圖1得彎矩方程：

 
    由幾何關系可知,根緯紗與第三根緯紗具有相同的運動規律,而經紗在X等于0和2a時,Z值相等,所以有：

 
    且有約束條件：R_p＋R_e＝R(R_p為經紗的半徑，R_e為緯紗的半徑，R為經、緯紗半徑之和)。

 
    根據拉格朗日乘數法,并在Zp(0,0)對П₁求偏導數，得：

 
    同理，分別在Z_P(a,0)、Z_e1(0,0)、Z_e2(a,0)處對П_l求偏導數，即可得到三個非線性方程。結合約束條件，式(1)、(2)、(3)、(4)，即可得到一個非線性方程組，有八個方程并且有八個未知量，通過數值模擬就可解出它們的值，得到點Z_p(0,0)、Z_p(a,0)、Z_el(0,0)、Z_e2(a,0)的位置，就可得到2.5D機織物經紗路徑的真實形狀曲線。 [-page-]
    至此，在承受附加張力情況下的2.5D機織物結構模型的微分方程就建成了，并給出了結構參數的約束條件。利用該方程對2.5D機織物的力學性能與結構參數之間關系的分析將做另文介紹。
4 結論
    本文研究了2.5D機織物在承受經向張力F_x和緯向張力F_y的情況下的結構模型，針對2.5D機織物中的經紗曲線進行分析，利用小勢能原理，得到包含2.5D機織物結構參數與力學指標的微分方程組，更為直接地表達結構參數與力學性能之間關系。通過數值模擬即可得到2.5D機織物中經紗的真實形狀曲線，相比于以前的工作，更為真實地反映了在承受附加張力情況下2.5D機織物的結構模型。在下一步的工作中，將進一步定量分析2.5D機織物中結構參數與力學性能之間的關系。
                    參考文獻
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